Question

9．已知函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|．
（1）求函数f（x）的最小值，并求取得最小值时x的取值范围；
（2）若$g（x）=\frac{1}{f（x）+m}$的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的意义，利用分类讨论进行求解即可．
（2）根据函数的定义域为R，得f（x）+m≠0恒成立，结合函数f（x）的最值进行求解即可．

解答 解：（1）当x＞$\frac{3}{2}$时，f（x）=2x-1+2x-3=4x-4，此时f（x）＞4×$\frac{3}{2}$-4=6-4=2，
当$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$时，f（x）=2x-1-2x+3=2，
当x＜$\frac{1}{2}$时，f（x）=-2x+1-2x+3=-4x+4＞-4×$\frac{1}{2}$+4=-2+4=2，
综上函数的最小值为2，此时$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$．
（2）$g（x）=\frac{1}{f（x）+m}$=$\frac{1}{|2x-1|+|2x-3|+m}$，
若$g（x）=\frac{1}{f（x）+m}$的定义域为R，
则f（x）+m≠0恒成立，
即|2x-1|+|2x-3|+m≠0，
由（1）知f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥2，
则|2x-1|+|2x-3|+m≥2+m，
则2+m＞0，得m＞-2，
即实数m的取值范围是（-2，+∞）．

点评 本题主要考查函数最值的求解，根据绝对值的应用，利用分类讨论的思想将函数表示为分段函数形式是解决本题的关键．