题目内容
16．已知直线Ax+By+C=0的方向向量为（B，-A），现有常数m＞0，向量$\overrightarrow{a}$=（0，1），向量$\overrightarrow{b}$=（m，0），经过点A（m，0）以λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$为方向向量的直线与经过点B（-m，0），以λ$\overrightarrow{b}$-4$\overrightarrow{a}$为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．（Ⅰ）求点P的轨迹E；
（Ⅱ）若m=2$\sqrt{5}$，F（4，0），问是否存在实数k使得过点F以k为斜率的直线与轨迹E交于M，N两点，并且S△OMN=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$（O为坐标原点）？若存在，求出k的值；若不存在，试说明理由．
分析 （Ⅰ）推导出直线AP的方程为y=$\frac{λ}{m}$（x-m），直线NP的方程为y=-$\frac{4}{λm}$（x+m），联立方程组得$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，由此能求出点P的轨迹E．
（2）轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，过点F（4，0）以k为斜率的直线的方程为y=k（x-4），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+5k2）x2-40k2x+80k2-20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式能求出不存在实数k使得过点F以k为斜率的直线与轨迹E交于M，N两点，并且S△OMN=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$（O为坐标原点）．
解答 解：（Ⅰ）∵常数m＞0，向量$\overrightarrow{a}$=（0，1），向量$\overrightarrow{b}$=（m，0），
经过点A（m，0）以λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$为方向向量的直线与经过点B（-m，0），以λ$\overrightarrow{b}$-4$\overrightarrow{a}$为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．
∴λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（m，λ），λ$\overrightarrow{b}$-4$\overrightarrow{a}$=（λm，-4），
∴直线AP的方程为y=$\frac{λ}{m}$（x-m），①，直线NP的方程为y=-$\frac{4}{λm}$（x+m），
联立①②，消去λ，得：${y}^{2}=-\frac{4}{{m}^{2}}（{x}^{2}-{m}^{2}）$，即$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
故当m=2时，轨迹E是以（0，0）为圆心，以2为半径的圆，其方程为：x2+y2=4．
当m＞2时，轨迹E是以原点为中心，以（$±\sqrt{{m}^{2}-4}$，0）为焦点的椭圆．
当0＜m＜2时，轨迹E是以原点为中心，以（0，$±\sqrt{4-{m}^{2}}$）为焦点的椭圆．
（2）∵m=2$\sqrt{5}$，F（4，0），
∴轨迹E是以原点为原心，以（±4，0）为焦点，长半轴为2$\sqrt{5}$的椭圆，
∴轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
过点F（4，0）以k为斜率的直线的方程为y=k（x-4），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+5k2）x2-40k2x+80k2-20=0，
△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=$\frac{40{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{80{k}^{2}-20}{1+5{k}^{2}}$，
|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（}{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$=$\frac{4\sqrt{5}（1+{k}^{2}）}{1+5{k}^{2}}$，
O到直线y=k（x-4）的距离d=$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∵S△OMN=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$（O为坐标原点），
∴S△OMN=$\frac{1}{2}|MN|•d$=$\frac{8\sqrt{5}|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+5{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
整理，得22k4+7k2+1=0，
△=49-88＜0，∴22k4+7k2+1=0无解，
∴不存在实数k使得过点F以k为斜率的直线与轨迹E交于M，N两点，并且S△OMN=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$（O为坐标原点）．
点评 本题考查点的轨迹的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、椭圆性质的合理运用．
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 6 |
| y1 | y2 | 总计 | |
| x1 | a | b | a+b |
| x2 | c | d | c+d |
| 总计 | a+c | b+d | a+b+c+d |
| A． | ad-bc越小，说明x与y的关系越弱 | B． | ad-bc越大，说明x与y的关系越弱 | ||
| C． | （ad-bc）2越大，说明x与y的关系越强 | D． | （ad-bc）2越小，说明x与y的关系越强 |
