Question

7．若偶函数f（x），当x∈R⁺时，满足f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$，且f（1）=0，则不等式$\frac{f（x）}{x}$≥0的解集是[-1，0）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x），求出g（x）的单调性和奇偶性，从而求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
x∈R⁺时，满足f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$，即xf′（x）-f（x）＞0，
故x＞0时，g（x）递增，
而f（x）=f（x），故g（-x）=-g（x），g（x）是奇函数，
故g（x）在（-∞，0）递增，
由f（0）=0，解不等式$\frac{f（x）}{x}$≥0，得：x≥1或-1≤x＜0，
故答案为：[-1，0）∪[1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查解不等式问题，是一道中档题．