Question

17．已知数列{a_n}满足${a_1}=1，{a_n}{a_{n+1}}={2^n}$（n∈N^*），则a_2n=2ⁿ．

Answer 1

分析 由已知求出数列的第二项，并得到数列{a_n}的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，然后由等比数列的通项公式得答案．

解答 解：由${a_1}=1，{a_n}{a_{n+1}}={2^n}$  ①，得a₂=2，
且${a}_{n-1}{a}_{n}={2}^{n-1}$ （n≥2）②，
①÷②得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}=2$，
∴数列{a_n}的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
则${a}_{2n}=2×{2}^{n-1}={2}^{n}$．
故答案为：2ⁿ．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．