题目内容
16．已知定义在R上的函数g（x）的导函数为g′（x），满足g′（x）-g（x）＜0，若函数g（x）的图象关于直线x=2对称，且g（4）=1，则不等式$\frac{g（x）}{e^x}$＞1的解集为（ ）| A． | （-2，+∞） | B． | （0，+∞） | C． | （-∞，0） | D． | （-∞，2） |
分析 构造函数f（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$，由已知可得f（x）为定义域内的减函数，再由已知求得f（0），然后利用函数的单调性即可求解不等式$\frac{g（x）}{e^x}$＞1的解集．
解答 解：令f（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$，则f′（x）=$\frac{g′（x）-g（x）}{{e}^{x}}$，
∵g′（x）-g（x）＜0，∴f′（x）＜0，
得函数f（x）为定义域内的减函数，
又函数g（x）的图象关于直线x=2对称，且g（4）=1，
∴g（2+x）=g（2-x），则g（4）=g（0）=1，
而当x=0时，f（0）=$\frac{g（0）}{{e}^{0}}$=1．
不等式$\frac{g（x）}{e^x}$＞1，即f（x）＞f（0），
解得：x＜0，
∴不等式$\frac{g（x）}{e^x}$＞1的解集为（-∞，0）．
故选：C．
点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数f（x）是解题的关键，是中档题．
练习册系列答案
阳光课堂课时优化作业系列答案
相关题目
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面是边长为1的正方形，高AA1=$\sqrt{2}$，点A是平面α内的一个定点，AA1与α所成角为$\frac{π}{3}$，点C1在平面α内的射影为P，当四棱柱ABCD-A1B1C1D1按要求运动时（允许四棱柱上的点在平面α的同侧或异侧），点P所经过的区域的面积=$2\sqrt{3}π$．
8．函数f（x）=sin（πx-$\frac{π}{3}}$）-1是（ ）
| A． | 周期为1的奇函数 | B． | 周期为2的偶函数 | ||
| C． | 周期为1的非奇非偶函数 | D． | 周期为2的非奇非偶函数 |