Question

2．设函f（x）=lg$\frac{\sum_{i-1}^{n-1}{i}^{x}+{n}^{x}a}{n}$，其a∈R，对于任意的正整n）n≥3，如果不等f（x）＞（x-1）lgn在区[1，+∞）有解，则实a的取值范围为（0，+∞）．

Answer 1

分析 依据题意利用函数解析式，根据题设不等式求得1-a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x=g（x），根据n的范围，判断出g（x）在[1，+∞）上单调递减，进而求得函数g（x）的最大值，利用g（x）_max＞1-a求得a范围．

解答 解：由题意可得f（x）=lg$\frac{{1}^{x}+{2}^{x}+{3}^{x}+…+（n-1）^{x}+{n}^{x}a}{n}$＞（x-1）lgn=lgn^x-1，
∴$\frac{{1}^{x}+{2}^{x}+{3}^{x}+…+（n-1）^{x}+{n}^{x}a}{n}$＞n^x-1，
∴1-a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x=g（x），
∵$\frac{1}{n}$，$\frac{2}{n}$，…，$\frac{n-1}{n}$∈（0，1），
∴g（x）在[1，+∞）上是单调减函数，
∴g（x）_max=f（1）=$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{n-1}{2}$，
由题意知1-a＜$\frac{n-1}{2}$，
∴a＞$\frac{3-n}{2}$，
∵n是给定的正整数，且n≥3，
∴a＞0，
故a的取值范围为（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）

点评 本题给出对数型函数，求一个不等式在区间上有解的参数a的取值范围，着重考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了学生对基本初等函数的掌握，属于中档题．