Question

18．若过点A（2，m）可作函数f（x）=x³-3x对应曲线的三条切线，则实数m的取值范围为（-6，2）．

Answer 1

分析 设切点为（a，a³-3a），利用导数的几何意义，求得切线的斜率k=f′（a），利用点斜式写出切线方程，将点A代入切线方程，可得关于a的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得2a³-6a²=-6-m，令g（x）=2x³-6x²，利用导数求出g（x）的单调性和极值，则根据y=g（x）与y=-6-m有三个不同的交点，即可得到m的取值范围．

解答 解：设切点为（a，a³-3a），
∵f（x）=x³-3x，
∴f'（x）=3x²-3，
∴切线的斜率k=f′（a）=3a²-3，
由点斜式可得切线方程为y-（a³-3a）=（3a²-3）（x-a），
∵切线过点A（2，m），
∴m-（a³-3a）=（3a²-3）（2-a），即2a³-6a²=-6-m，
∵过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴关于a的方程2a³-6a²=-6-m有三个不同的根，
令g（x）=2x³-6x²
∴g′（x）=6x²-12x=0，解得x=0或x=2，
当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，当x＞2时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=0，
当x=2时，g（x）取得极小值g（2）=-8，
关于a的方程2a³-6a²=-6-m有三个不同的根，等价于y=g（x）与y=-6-m的图象有三个不同的交点，
∴-8＜-6-m＜0，
∴-6＜m＜2，
∴实数m的取值范围为：（-6，2）．
故答案为（-6，2）．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．运用了转化的数学思想方法，对能力要求较高．属于中档题．