Question

已知函数f（x）=x³-x-

x

．
（I）求函数y=f（x）的零点的个数；
（Ⅱ）令g（x）=

ax2+ax

f(x)+ x

+lnx，若函数y=g（x）在（0，

1

e

）内有极值，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：g（t）-g（s）＞e+2-

1

e

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）易知x=0是y=f（x）的零点，从而x＞0时，f（x）=x（x²-1-

1

x

），设φ（x）=x2-1-

1

x

，利用导数及零点判定定理可求函数零点个数；
（Ⅱ）化简得g（x）=lnx+

a

x-1

，其定义域是（0，1）∪（1，+∞），求导得g'（x）=

x2-(2+a)x+1

x(x-1)2

，令h（x）=x²-（2+a）x+1，则问题转化为h（x）=0有两个不同的根x₁，x₂，从而△=（2+a）²-4＞0，且一根在（0，

1

e

）内，不妨设0＜x₁＜

1

e

，再由x₁x₂=1，得0＜x₁＜

1

e

＜e＜x₂，根据零点判定定理可知只需h（

1

e

）＜0，由此可求a的范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求y=g（x）在（1，+∞）内的最小值为g（x₂），y=g（x）在（0，1）内的最大值为g（x₁），由（Ⅱ）同时可知x₁+x₂=2+a，x₁x₂=1，x1∈(0，

1

e

)，x₂∈（e，+∞），故g（t）-g（s）≥g（x₂）-g（x₁）=lnx₂+

a

x2-1

-lnx1-

a

x1-1

=ln

x2

x1

+

a

x2-1

-

a

x1-1

=lnx22+x2-

1

x2

（x₂＞e），令k（x）=lnx²+x-

1

x

=2lnx+x-

1

x

，利用导数可判断k（x）在（e，+∞）内单调递增，从而有k（x）＞k（e），整理可得结论；

解答： 解：（Ⅰ）∵f（0）=0，∴x=0是y=f（x）的一个零点，
当x＞0时，f（x）=x（x²-1-

1

x

），设φ（x）=x2-1-

1

x

，
φ'（x）=2x+

1

2 x3

＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增．
又φ（1）=-1＜0，φ（2）=3-

1

2

＞0，
故φ（x）在（1，2）内有唯一零点，
因此y=f（x）在（0，+∞）内有且仅有2个零点；
（Ⅱ）g（x）=

ax2+ax

x3-x

+lnx=

ax(x+1)

x(x+1)(x-1)

+lnx=lnx+

a

x-1

，
其定义域是（0，1）∪（1，+∞），
则g'（x）=

1

x

-

a

(x-1)2

=

x2-2x+1-ax

x(x-1)2

=

x2-(2+a)x+1

x(x-1)2

，
设h（x）=x²-（2+a）x+1，要使函数y=g（x）在（0，

1

e

）内有极值，则h（x）=0有两个不同的根x₁，x₂，
∴△=（2+a）²-4＞0，得a＞0或a＜-4，且一根在（0，

1

e

）内，不妨设0＜x₁＜

1

e

，
又x₁x₂=1，∴0＜x₁＜

1

e

＜e＜x₂，
由于h（0）=1，则只需h（

1

e

）＜0，即

1

e2

-(a+2)•

1

e

+1＜0，
解得a＞e+

1

e

-2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当x∈（1，x₂）时，g'（x）＜0，g（x）递减，x∈（x₂，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，
故y=g（x）在（1，+∞）内的最小值为g（x₂），即t∈（1，+∞）时，g（t）≥g（x₂），
又当x∈（0，x₁）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（x₁，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
故y=g（x）在（0，1）内的最大值为g（x₁），即对任意s∈（0，1），g（s）≤g（x₁），
由（Ⅱ）可知x₁+x₂=2+a，x₁x₂=1，x1∈(0，

1

e

)，x₂∈（e，+∞），
因此，g（t）-g（s）≥g（x₂）-g（x₁）=lnx₂+

a

x2-1

-lnx1-

a

x1-1

=ln

x2

x1

+

a

x2-1

-

a

x1-1

=lnx22+x2-

1

x2

（x₂＞e），
设k（x）=lnx²+x-

1

x

=2lnx+x-

1

x

，k'（x）=

2

x

+1+

1

x2

＞0，
∴k（x）在（e，+∞）内单调递增，
故k（x）＞k（e）=2+e-

1

e

，即g（t）-g（s）＞e+2-

1

e

．

点评：本题考查利用导数研究函数的零点、极值、最值，考查转化思想，考查学生综合运用数学知识分析解决问题的能力，综合性强，能力要求比较高．