Question

已知曲线C：

x2

4

+y²=1，直线l

x=t y= 2 - 3 t

（t为参数）
（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，写出直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

Answer 1

考点：直线的参数方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由直线l

x=t y= 2 - 3 t

（t为参数），把x=t代入y=

2

-

3

t消去参数可得直角坐标方程，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入可得极坐标方程．由曲线C：

x2

4

+y²=1，可得参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数，α∈[0，2π））．
（2）如图所示，设椭圆上的任意一点P（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））．则点P到直线l的距离d=

|2 3 cosα+sinα- 2 |

2

=

| 13 sin(α+φ)- 2 |

2

，可得最大值，
因此|PA|的最大值为

d

sin30°

．

解答： 解：（1）由直线l

x=t y= 2 - 3 t

（t为参数），消去参数化为y=

2

-

3

x，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入可得

3

ρcosθ+ρsinθ-

2

=0．
由曲线C：

x2

4

+y²=1，可得参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数，α∈[0，2π））．
（2）如图所示，
过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，设椭圆上的任意一点P（2cosα，sinα）（α∈[0，2π））．
则点P到直线l的距离d=

|2 3 cosα+sinα- 2 |

2

=

| 13 sin(α+φ)- 2 |

2

≤

13 + 2

2

，
∴|PA|的最大值为

13 + 2 2

sin30°

=

13

+

2

．

点评：本题考查了直线的参数方程化为直角坐标方程、化为极坐标方程、点到直线的距离公式、直角三角形的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．