Question

13．已知函数f（x）=lnx+x²．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-3x的极值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得到h（x），求其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得函数的单调区间，进一步求得极值；
（Ⅱ）由函数g（x）=f（x）-ax在定义域内为增函数，可得g′（x）≥0（x＞0）恒成立，分离参数a，利用基本不等式求得最值得答案．

解答 解：（Ⅰ） 由已知，得h（x）=f（x）-3x=lnx+x²-3x，$h'（x）=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$（x＞0），
令$h'（x）=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$=0，得x=$\frac{1}{2}$或x=1，
∴当x∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）时，h′（x）＞0，当x∈（$\frac{1}{2}，1$）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）上为增函数，在（$\frac{1}{2}，1$）上为减函数．
∴h（x）_极小值=h（1）=-2，$h{（x）_{极大值}}=h（\frac{1}{2}）=-\frac{5}{4}-ln2$；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，g′（x）=$\frac{1}{x}+2x-a$，
由题意，知g′（x）≥0（x＞0）恒成立，
即a≤$（2x+\frac{1}{x}）_{min}$．
∵x＞0时，2x+$\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{2}$，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时等号成立．
故$（2x+\frac{1}{x}）_{min}=2\sqrt{2}$，
∴a$≤2\sqrt{2}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了分离参数法及构造函数求最值，是中档题．