Question

19．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}y≤x\\ x+y≥1\\ y≥3x-6\end{array}\right.$，则x²+y²+2（x-y）的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 z=x²+y²+2（x-y）=（x+1）²+（y-1）²-2利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}y≤x\\ x+y≥1\\ y≥3x-6\end{array}\right.$，对应的平面区域如图
z=x²+y²+2（x-y）=（x+1）²+（y-1）²-2，则z的几何意义是，区域内的点到点D（-1，1）的距离的平方减2，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$解得A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
由图象可知点D到A的距离d即为z=d²-2最小值，
则z=$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+2（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$，
故x²+y²+2（x-y）的最小值为$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合点到直线的距离公式是解决本题的关键．