题目内容

设a，b，c，d都是正数，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求证：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．
考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：根据不等式的左边减去右边化简结果为 （ad-bc）2≥0，可得不等式成立．
解答： 证明：∵（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）-（a2c2+2abcd+b2d2）
=（ad-bc）2≥0，
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立，又a，b，c，d都是正数，
∴
a2+b2
•
c2+d2
≥ac+bd＞0，①
同理
a2+b2
•
c2+d2
≥ad+bc＞0，
∴xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．
点评：本题主要考查用比较法证明不等式，把差变为因式乘积的形式，是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，右焦点F2到直线
x
a
+
y
b
=0的距离为1．
（1）求椭圆的C方程；
（2）已知直线y=k（x-2）（k≠0）与椭圆C相交于M、N两点，在轴x上是否存在定点E，使
EM
•
EM
为定值？若存在，求出E点的坐标和定值；若不存在，说明理由．
（文科）解关于x的不等式x2-ax-6a2＜0．
已知直线l1的参数方程为：
x=1-2t
y=3+t
，t为参数．
（1）将直线l1的参数方程化成直线的普通方程（写成一般式）；
（2）已知直线l2：x+y-2=0，判断l1与l2是否相交，如果相交，请求出交点坐标．
阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为
 
．
已知函数f（x）=-
 a
ax+
a
，证明函数y=f（x）的图象关于（
1
2
，-
1
2
）对称．
已知f（x）=x（
1
2x-1
+
1
2
），试判断f（x）的奇偶性．
已知向量
a
=（sin
1
2
x，
3
），
b
=（1，cos
1
2
x），函数f（x）=
a
•
b
．
（1）若f（x）=0，且π＜x＜2π，求x的值；
（2）求f（x）的最小正周期；
（3）若f（2α+
π
3
）=
10
13
，f（2β+
4π
3
）=-
6
5
，α，β∈[0，
π
2
]．求cos（α+β）的值．
已知向量
a
=（2，1），
b
（-4，3），则
a
在
b
方向上的投影为
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网