Question

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，且DM=2

2

．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；  
（3）求点B到平面DOM的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）根据三角形的中位线定理，可得OM∥AB．再由线面平行判定定理，得到OM∥平面ABD；
（2）在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4，OD=

1

2

BD=2，从而算出∠DOM=90°，即OD⊥OM．根据OD⊥AC，利用线面垂直判定定理得到OD⊥平面ABC，进而得出平面DOM⊥平面ABC．
（3）分别算出△DOM的△ABC面积，利用三棱锥B-DOM与三棱锥D-BOM体积相等加以计算，可得点B到平面DOM的距离．

解答： 解：（1）∵△ABC中，O为AC的中点，M为BC的中点，
∴OM∥AB．
∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，
∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O为BD的中点，∴OD=

1

2

BD=2．
∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=

1

2

AB=2
又∵OD²+OM²=8=DM²，∴∠DOM=90°，即OD⊥OM．
∵AC?平面ABC，OM?平面ABC，AC∩OM=O，
∴OD⊥平面ABC．
∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．
（3）由（2）得OD⊥平面BOM，可得OD是三棱锥D-BOM的高．
设点B到面DOM距离为h，由OD=2，
∴S△ABC=

1

2

×OB×BMsin60°=

3

，S△DOM=

1

2

×OD×OM=2
∵因为V_B-DOM=V_D-BOM，
∴

1

3

S_△DOM•h=

1

3

S_△ABC•OD，即

1

3

×2h=

1

3

×

3

×2，解得h=

3

，
即点B到平面DOM的距离等于

3

．

点评：本题给出平面图形的翻折，求证线面平行、面面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面平行判定定理、面面垂直与线面性质和性质、利用等体积法求点面距离等知识，属于中档题．