Question

已知动点P到点F（2，0）的距离与到直线l：x=

1

2

的距离之比为2．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）直线l的方程为x+y-2=0，l与曲线C交于A，B两点．求线段AB的长．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设P（x，y），利用动点P到点F（2，0）的距离与到直线l：x=

1

2

的距离之比为2，建立方程，化简可得结论；
（2）直线l的方程与轨迹C的方程联立，消去y，利用韦达定理，结合弦长公式，可求线段AB的长．

解答： 解：（1）设P（x，y），则
∵动点P到点F（2，0）的距离与到直线l：x=

1

2

的距离之比为2，
∴

(x-2)2+y2

|x- 1 2 |

=2，
化简可得x2-

y2

3

=1；
（2）设交点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l的方程与轨迹C的方程联立，消去y可得2x²+4x-7=0，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=-

7

2

，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=18，
∴|x₁-x₂|=3

2

，
∴|AB|=

2

•|x₁-x₂|=6．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长的计算，正确求出双曲线的方程是关键．