Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在[1，e]上的最小值．（e=2.71828…）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=lnx+1，x＞0，由f′（x）=0，得x=

1

e

，由此利用导数性质能求出函数f（x）的极值点．
（2）由已知得g′（x）=lnx+1-a，由g′（x）=0时，x=e^a-1．由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数g（x）在[1，e]上的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，x＞0，
由f′（x）=0，得x=

1

e

，
x∈（0，

1

e

）时，f′（x）＜0；x∈（

1

e

，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）_极小值=f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．
（2）∵f（x）=xlnx，
∴g（x）=f（x）-a（x-1）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，
∴g′（x）=0时，x=e^a-1．
∴①当e^a-1＜1时，即a＜1时，
g（x）在[1，e]上单调递增，故在x=1处取得最小值为0；
②当1≤e a-1≤e时，即0≤a≤1时，
g（x）在[1，e]内，当x=e^a-1取最小值为：
e^a-1（a-1）-ae^a-1+a=a-e^a-1；
③当c^a-1＞e时，即a＞1时，
g（x）在[1，e]内单调递减，
故在x=e处取得最小值为e-a（e-1）=（1-a）e+1．

点评：本题考查函数极值点的求法，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．