Question

已知f（x）=

m

x+1

+nlnx（m，n为常数）在x=1处的切线为x+y-2=0．
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）若任意实数x∈[

1

e

，1]，使得对任意的t∈[

1

2

，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at+2成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义，求出函数的解析式，利用导数求函数的单调区间；
（2）由（1）可知，f（x）在[

1

e

，1]上单调递减，f（x）在[

1

e

，1]上的最小值为f（1）=1，只需t³-t²-2at+2≤1，即2a≥t²-t+

1

t

对任意的t∈[

1

2

，2]恒成立，
令g（t）=t²-t+

1

t

，利用导数求得g（t）的最大值，列出不等式即可求得结论．

解答： 解：（1）f（x）=

m

x+1

+nlnx定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=-

m

(x+1)2

+

n

x

，
∴f′（1）=-

m

4

+n=1，
把x=1代入x+y-2=0可得y=1，∴f（1）=

m

2

=1，
∴m=2，n=-

1

2

，
∴f（x）=

2

x+1

-

1

2

lnx，f′（x）=-

2

(x+1)2

-

1

2x

，
∵x＞0，∴f′（x）＜0，
∴f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间．
（2）由（1）可知，f（x）在[

1

e

，1]上单调递减，
∴f（x）在[

1

e

，1]上的最小值为f（1）=1，
∴只需t³-t²-2at+2≤1，即2a≥t²-t+

1

t

对任意的t∈[

1

2

，2]恒成立，
令g（t）=t²-t+

1

t

则g′（t）=2t-1-

1

t2

=

2t3-t2-1

t2

，
∵t∈[

1

2

，2]，∴2t³-t²-1=（t-1）（2t²+t+1），
∴在t∈[

1

2

，1]上g（t）单调递减，在[1，2]上g（t）单调递增，
又g（

1

2

）=

7

4

，g（2）=

5

2

，
∴g（t）在[

1

2

，2]上的最大值是

5

2

，
∴只需2a≥

5

2

，即a≥

5

4

，
∴实数a的取值范围是[

5

4

，+∞）．

点评：本题主要考查导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间、最值等知识，考查学生恒成立问题的等价转化能力及运算求解能力，属于难题．