Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+a_n-1=2n-1，n≥2，且n∈N₊，则数列{

an

2n

}的前n项和为（　　）

• A、S_n=1-

  1

  2n

• B、S_n=2-

  1

  2n-1

  -

  n

  2n

• C、S_n=n（1-

  1

  2n

  ）
• D、S_n=2-

  1

  2n-1

  +

  n

  2n

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由数列递推式结合首项求出数列前几项，猜测出数列的通项公式，利用首项归纳法证明，然后利用错位相减法求数列{

an

2n

}的前n项和．

解答： 解：由a₁=1，a_n+a_n-1=2n-1，n≥2，得
a₂=2，a₃=3，a₄=4，…
由此猜测a_n=n．
下面利用首项归纳法证明：
a₁=1符合；
假设n=k时成立，即a_k=k，
那么，当n=k+1时，a_k+1+a_k=2（k+1）-1=2k+1，
则a_k+1=2k+1-k=k+1，
∴当n=k+1时结论成立．
综上，a_n=n．
设数列{

an

2n

}的前n项和为S_n．
则Sn=1•

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+n•

1

2n

  ①，

1

2

Sn=1•

1

22

+2•

1

23

+…+(n-1)•

1

2n

+n•

1

2n+1

  ②，
①-②得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

．
∴S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

．
故选：B．

点评：本题考查了数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．