Question

已知函数f（x）=lnx+a，g（x）=x-a．
（Ⅰ）当直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线时，求a的值；
（Ⅱ）若不等式kg（x+a）≥f（x）-a在（0，+∞）上恒成立，求k的最小值；
（Ⅲ）当a＞0时，若函数F（x）=f（x）•g（x）在区间[e-

3

2

，1]上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设切点为（x₀，y₀），利用直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线，求出切点的坐标，即可求a的值；
（Ⅱ）由题意，kx≥lnx在（0，+∞）上恒成立，即k≥

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立，求出函数的最大值，即可求k的最小值；
（Ⅲ）确定F（x）在（0，+∞）上单调递增，由函数F（x）在区间[e-

3

2

，1]上不单调，且F′（1）=1+a+ln1-a＞0，可得F′（e-

3

2

）=1+a+lne-

3

2

-

a

e- 3 2

＜0，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设切点为（x₀，y₀），
∵f（x）=lnx+a，∴f′（x）=

1

x

，
∵直线y=g（x）恰好为曲线y=f（x）的切线，
∴

1

x0

=1，
∴x₀=1，
∴切点为（1，a），
代入g（x）=x-a，可得1-a=2，
∴a=

1

2

；
（Ⅱ）由题意，kx≥lnx在（0，+∞）上恒成立，
∴k≥

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=

lnx

x

（x∈（0，+∞）），则h′（x）=

1-lnx

x2

=0，可得x=e，
∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴h（x）_max=h（e）=

1

e

，
∴k≥

1

e

，
∴k的最小值是

1

e

；
（Ⅲ）函数F（x）=f（x）•g（x）=（lnx-a）（x-a），则F′（x）=1+a+lnx-

a

x

，
∵a＞0，∴F′（x）＞0，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增．
∵函数F（x）在区间[e-

3

2

，1]上不单调，且F′（1）=1+a+ln1-a＞0，
∴F′（e-

3

2

）=1+a+lne-

3

2

-

a

e- 3 2

＜0，
解得a＞

e +1

2(e-1)

．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查函数的单调性，分离参数，求最值是关键．