题目内容
已知数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn-2bn+3=0，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设Cn=
，求数列{cn}的前2n+1项和P2n+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设Cn=
|
考点：数列递推式,数列的求和
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）当n≥2时，Sn-1-2bn-1+3=0，两式相减，得数列{bn}为等比数列，即可求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{cn}的通项，利用分组求和的方法求数列{cn}的前2n+1项和P2n+1．
（Ⅱ）确定数列{cn}的通项，利用分组求和的方法求数列{cn}的前2n+1项和P2n+1．
解答：
解：（Ⅰ）∵Tn-2bn+3=0，∴当n=1时，b1=3，
当n≥2时，Sn-1-2bn-1+3=0，两式相减，得bn=2bn-1，（n≥2）
∴数列{bn}为等比数列，∴bn=3•2n-1． …（6分）
（Ⅱ）cn=
．
令an=n-1，…（8分）
故P2n+1=（a1+a3+…+a2n+1）+（b2+b4+…+b2n）=
+
…（12分）
=22n+1+n2+n-2…（14分）
当n≥2时，Sn-1-2bn-1+3=0，两式相减，得bn=2bn-1，（n≥2）
∴数列{bn}为等比数列，∴bn=3•2n-1． …（6分）
（Ⅱ）cn=
|
令an=n-1，…（8分）
故P2n+1=（a1+a3+…+a2n+1）+（b2+b4+…+b2n）=
| (0+2n)•(n+1) |
| 2 |
| 6(1-4n) |
| 1-4 |
=22n+1+n2+n-2…（14分）
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{bn}为等比数列是解题的关键．
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