Question

已知函数f（x）=

ln(ex+a+1)

x

（a为常数，是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值，
（Ⅱ）已知函数g（x）=

b

ln(ex+a+1)

-lnx，若g（x）≥5-3x恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义，建立方程关系，即可求实数a的值，
（Ⅱ）将不等式恒成立，进行参数分类，利用导数求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）若函数f（x）=

ln(ex+a+1)

x

（a为常数，是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
则f（-1）=f（1），
即-ln（

1

e

+a+1）=ln（e+a+1），
则ln（

1

e

+a+1）+ln（e+a+1）=ln[（

1

e

+a+1）（e+a+1）]=0，
即（

1

e

+a+1）（e+a+1）=1
则1+

1

e

（a+1）+e（a+1）+（a+1）²=1，
即（a+1）（（

1

e

+1+a+1）=0，
∴a+1=0，解得a=-1，
此时f（x）=

ln(ex+a+1)

x

=

lnex

x

=

x

x

=1为偶函数，满足条件，
故a=-1．
（Ⅱ）g（x）=

b

ln(ex+a+1)

-lnx=

b

ln(ex+1-1)

-lnx=

b

x

-lnx，
若g（x）≥5-3x恒成立，
则

b

x

-lnx≥5-3x恒成立，
即b≥xlnx+5x-3x²在x＞0恒成立，
设m（x）=xlnx+5x-3x²，
则m′（x）=lnx+6-6x，
由m′（x）=lnx+6-6x=0，解得x=1，
即0＜x＜1时，m′（x）＞0．，函数m（x）单调递增，
即x＞1时，m′（x）＜0．，函数m（x）单调递减，
即当x=1时，函数m（x）取得极小值，同时也是最小值m（1）=5-3=2，
故b≥2．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法，结合导数求函数的最值是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．