Question

已知函数f（x）=alnx-x+

1

x

．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞0时，ln（1+

1

x

）＜

1

x

+

1

x+1

．
（3）证明：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

＞n²-n³（n∈N^*）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,数列的求和

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出原函数的导函数，对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号判断原函数的单调性；
（2）结合（1）中函数的单调性，得到f（x）=lnx-x+

1

x

在（0，+∞）上为减函数，然后由f（1+

1

x

）
＜f（1）证得函数不等式；
（3）利用数学归纳法证明数列不等式，再由归纳假设证明n=k+1时穿插运用分析法．

解答： （1）解：∵f（x）=alnx-x+

1

x

，
∴f′(x)=

a

x

-1-

1

x2

=

-(x2-ax+1)

x2

，
若a≤2，f′（x）≤0，函数f（x）在其定义域内为减函数；
若a＞2，当x∈(0，

a- a2-4

2

)，x∈(

a+ a2-4

2

，+∞)时，f′（x）＜0，
当x∈(

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

)时，f′（x）＞0．
∴当a≤2时，函数f（x）的减区间为（0，+∞）；
当a＞2时，函数f（x）的减区间为(0，

a- a2-4

2

)，(

a+ a2-4

2

，+∞)，
增区间为(

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

)；
（2）证明：由（1）知，当a=1时，f（x）=lnx-x+

1

x

在（0，+∞）上为减函数，
∴f（1+

1

x

）＜f（1），即ln(1+

1

x

)-(1+

1

x

)+

1

1+ 1 x

＜ln1-1+1=0，
即ln(1+

1

x

)＜1+

1

x

-

x

x+1

＜1+

1

x

+

1

x+1

；
（3）证明：当n=1时，不等式左边=

2

2

，右边=0，左边大于右边，不等式成立；
假设当n=k时结论成立，即

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

k(k+1)

＞k²-k³，
那么，当n=k+1时，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

k(k+1)

+

1

(k+1)(k+2)

＞k2-k3+

1

(k+1)(k+2)

．
要证k2+k3+

1

(k+1)(k+2)

＞(k+1)2-(k+1)3，只需证

1

(k+1)(k+2)

＞-3k2-k，
此式显然成立，
∴当n=k+1时不等式成立，
综上，对于任意n∈N^*不等式成立．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明函数不等式，训练了利用数学归纳法证明数列不等式，是压轴题．