Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，记

AnAn+1

=(an，an+1)，且

A1A2

∥

AnAn+1

．
（Ⅰ）求{a_n}；
（Ⅱ）是否存在等差数列{b_n}使得

n

i=1

aibi=（2n-3）2ⁿ+3？若存在，请求出{b_n}，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得（1，2）∥（a_n，a_n+1），从而{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出an=2n-1．
（Ⅱ）假设存在等差数列{b_n}使得

n

i=1

aibi=（2n-3）2ⁿ+3，则1×b₁=3-2=1，1+2b₂=7，从而{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出b_n=2n-1．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，
记

AnAn+1

=(an，an+1)，且

A1A2

∥

AnAn+1

，
∴（1，2）∥（a_n，a_n+1），
∴

1

an

=

2

an+1

，
∴a_n+1=2a_n，
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）假设存在等差数列{b_n}使得

n

i=1

aibi=（2n-3）2ⁿ+3，
则1×b₁=3-2=1，解得b₁=1，
1+2b₂=7，解得b₂=3，
∴{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴b_n=2n-1．

点评：本小题主要考查等比数列、等差数列、向量平行的判断、错位相减法等基础知识，考推理论证能力及运算求解能力，考查化归转化思想、特殊一般思想及应用意识．