Question

14．已知，对于任意x∈R，e^x≥ax+b均成立．
①若a=e，则b的最大值为0；
②在所有符合题意的a，b中，a-b的最小值为-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 ①若a=e，可得b≤e^x-ex恒成立，由y=e^x-ex求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到b的最大值；
②对于任意x∈R，e^x≥ax+b均成立，即有b≤e^x-ax恒成立，由y=e^x-ax求出导数和单调区间，可得b≤a-alna，
即a-b≥alna，由f（a）=alna求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到a-b的最小值．

解答 解：①若a=e，则对于任意x∈R，e^x≥ex+b均成立，
即为b≤e^x-ex恒成立，
由y=e^x-ex的导数为y′=e^x-e，
当x＞1时，y′＞0，函数y递增；当x＜1时，y′＜0，函数y递减．
可得x=1处，函数y取得最小值，且为0，
则b≤0，即b的最大值为0；
②对于任意x∈R，e^x≥ax+b均成立，
即有b≤e^x-ax恒成立，
由y=e^x-ax的导数为y′=e^x-a，
当a≤0时，y′＞0恒成立，函数y递增，无最小值；
当a＞0时，当x＞lna时，y′＞0，函数y递增；当x＜lna时，y′＜0，函数y递减．
可得x=lna处，函数y取得最小值，且为a-alna，
则b≤a-alna，
即a-b≥alna，
由f（a）=alna的导数为f′（a）=lna+1，
可得a＞$\frac{1}{e}$时，f′（a）＞0，f（a）递增；
0＜a＜$\frac{1}{e}$时，f′（a）＜0，f（a）递减．
可得a=$\frac{1}{e}$时，f（a）取得最小值-$\frac{1}{e}$．
则a-b的最小值为-$\frac{1}{e}$．
故答案为：0，-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查转化思想和分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．