Question

9．在平面直角坐标系中，曲线C₁的方程为（x-2）²+y²=4．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2，射线C₃的极坐标方程为$θ=\frac{π}{4}（ρ＞0）$．
（1）将曲线C₁的直角坐标方程化为极坐标方程；
（2）若射线C₃与曲线C₁、C₂分别交于点A、B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的方程转化为x²+y²-4x=0，将x²+y²=ρ²，x=ρcosθ代入，能求出曲线C₁的极坐标方程．
（2）设点A、B对应的极径分别为ρ_A、ρ_B，求出ρ_B=2，${ρ_A}=2\sqrt{2}$，从而得到$|AB|=|{ρ_A}-{ρ_B}|=2\sqrt{2}-2$．

解答 解：（1）∵曲线C₁的方程为（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0，
将x²+y²=ρ²，x=ρcosθ代入上式，
得曲线C₁的极坐标方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．…（6分）
（2）设点A、B对应的极径分别为ρ_A、ρ_B，
∵曲线C₂的极坐标方程为ρ=2，射线C₃的极坐标方程为$θ=\frac{π}{4}（ρ＞0）$．
射线C₃与曲线C₁、C₂分别交于点A、B，∴ρ_B=2，
将$θ=\frac{π}{4}（ρ＞0）$代入ρ=4cosθ，得：${ρ_A}=2\sqrt{2}$，
∴$|AB|=|{ρ_A}-{ρ_B}|=2\sqrt{2}-2$．…（12分）

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．