Question

5．若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）解关于x的不等式  （k+1）f（x）＞kx+1．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=1，求出c=1，根据f（x+1）-f（x）=2x，通过系数相等，从而求出a，b的值；
（2）f（x）＞2x+m等价于x²-x+1＞2x+m，即x²-3x+1-m＞0，要使此不等式在[-1，-1]上恒成立，只需使函数g（x）=x²-3x+1-m在[-1，-1]的最小值大于0即可，求出g（x）的最小值即可．
（3）（k+1）f（x）＞kx+1即（k+1）x²-（2k+1）x+k＞0⇒（x-1）[（k+1）x-k]＞0，分当k=-1，当k＞-1，当k＜-1 三种情况分别解不等式．

解答 （1）由f（0）=1得，c=1，∴f（x）=ax²+bx+1．又f（x+1）-f（x）=2x
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x，即2ax+a+b=2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$…（5分）
．因此，f（x）=x²-x+1．…（4分）
（2）f（x）＞2x+m等价于x²-x+1＞2x+m，即x²-3x+1-m＞0，要使此不等式在[-1，1]上恒成立，只需使函数g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上的最小值大于0即可．
∵g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=-m-1，由-m-1＞0得，m＜-1．
因此满足条件的实数m的取值范围是（-∞，-1）．                 …（8分）
（3）（k+1）f（x）＞kx+1即（k+1）x²-（2k+1）x+k＞0⇒（x-1）[（k+1）x-k]＞0
当k=-1时，x-1＞0，∴x∈（1，+∞）…（11分）
当k＞-1时，$（x-1）（{x-\frac{k}{k+1}}）＞0$∵$\frac{k}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}＜1∴x∈（-∞，\frac{k}{k+1}）∪（1，+∞）$…（13分）
当k＜-1时，$（x-1）（{x-\frac{k}{k+1}}）＜0$∵$\frac{k}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}＞1∴x∈（1，\frac{k}{k+1}）$…（15分）
综上：当k=-1时x∈（1，+∞）
当k＞-1时，$x∈（-∞，\frac{k}{k+1}）∪（1，+∞）$
当k＜-1时，$x∈（1，\frac{k}{k+1}）$…（16分）

点评 本题考查函数解析式求解的待定系数法，涉及恒成立和二次函数区间的最值，考查了含参数不等式的解法，属中档题．