Question

11．已知圆C：（x-1）²+（y-a）²=16，若直线ax+y-2=0与圆C相交于AB两点，且CA⊥CB，则实数a的值是-1．

Answer 1

分析 求出圆C的圆心C（1，a），半径r=4，由直线ax+y-2=0与圆C相交于AB两点，且CA⊥CB，得到AB=4$\sqrt{2}$，由此利用圆心C（1，a）到直线AB的距离d=$\frac{|a+a-2|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$2\sqrt{2}$，能求出a．

解答 解：圆C：（x-1）²+（y-a）²=16的圆心C（1，a），半径r=4，
∵直线ax+y-2=0与圆C相交于AB两点，且CA⊥CB，
∴AB=$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，
∴圆心C（1，a）到直线AB的距离：
d=$\frac{|a+a-2|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$2\sqrt{2}$，
解得a=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查实数值的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．