Question

4．已知函数f（x）满足当x∈（1，2）时，f（x-1）=2f（$\frac{1}{x-1}$），当x∈（1，3]时，f（x）=lnx，若函数g（x）=$\frac{f（x）-ax}{x-1}$在区间[$\frac{1}{3}$，1）∪（1，3]上有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{，e}$）
• B． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{，e}$）
• C． （$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{，e}$）
• D． （0，$\frac{ln3}{3}$）

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，令g（x）=0可得a=$\frac{f（x）}{x}$，令h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，判断h（x）的单调性，计算极值，作出函数单调性，利用函数图象得出a的范围．

解答 解：∵当x∈（1，2）时，f（x-1）=2f（$\frac{1}{x-1}$），
∴当0＜x＜1时，f（x）=2f（$\frac{1}{x}$），
∴当x∈[$\frac{1}{3}$，1）时，f（x）=2f（$\frac{1}{x}$）=2ln$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2ln\frac{1}{x}，x∈[\frac{1}{3}，1）}\\{lnx，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
令g（x）=0得a=$\frac{f（x）}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2lnx}{x}，x∈[\frac{1}{3}，1）}\\{\frac{lnx}{x}，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
令h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2lnx}{x}，x∈[\frac{1}{3}，1）}\\{\frac{lnx}{x}，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
则h′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2lnx-2}{{x}^{2}}，x∈[\frac{1}{3}，1）}\\{\frac{1-lnx}{{x}^{2}}，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
∴当x∈[$\frac{1}{3}$，1）时，h′（x）＜0，
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，3]时，h′（x）＜0，
∴h（x）在[$\frac{1}{3}$，1）上单调递减，在（1，e]上单调递增，在（e，3]上单调递减，
∴h（$\frac{1}{3}$）=6ln3，h（e）=$\frac{1}{e}$，h（3）=$\frac{ln3}{3}$，
作出h（x）的大致函数图象如图所示：

∵函数g（x）=$\frac{f（x）-ax}{x-1}$在区间[$\frac{1}{3}$，1）∪（1，3]上有三个不同的零点，
∴h（x）=a有3个解，
∴$\frac{ln3}{3}≤a＜\frac{1}{e}$，
故选B．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断与极值计算，属于中档题．