Question

已知函数f（x）=x²-lnx-ax，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）＞x，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当求函数的最值问题，利用求导，判断单调性，然后求极值，再判断最值；
（Ⅱ）求参数的取值范围，转化为求函数的最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-lnx-x，
f′（x）=

(2x+1)(x-1)

x

．
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）的最小值为f（1）=0．
（Ⅱ）f（x）＞x，即f（x）-x=x²-lnx-（a+1）x＞0．
由于x＞0，所以f（x）＞x?x-

lnx

x

＞a+1．
令g（x）=x-

lnx

x

，
则g′（x）=

x2-1+lnx

x2

．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
g（x）有最小值g（1）=1．
故a+1＜1，a的取值范围是（-∞，0）．

点评：本题考查了导数与函数的最值问题，求参数的取值范围经常利用转化思想，转化为求最值的问题．