Question

已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），设函数f（x）=

m

•

n

+1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a²+b²=6abcosC，sin²C=2sinAsinB，求f（C）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的递增区间即可确定出f（x）的递增区间；
（2）已知第二个等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将第一个等式及化简得到的关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，即可求出f（C）的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），
∴f（x）=

m

•

n

+1=

3

sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

=

3

2

sinx-

1

2

cosx+

1

2

=sin（x-

π

6

）+

1

2

，
令2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得到2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

（k∈Z），
所以所求增区间为[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
（2）由a²+b²=6abcosC，由sin²C=2sinAsinB，利用正弦定理化简得：c²=2ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

6abcosC-2ab

2ab

=3cosC-1，即cosC=

1

2

，
又∵0＜C＜π，∴C=

π

3

，
∴f（C）=f（

π

3

）=sin（

π

3

-

π

6

）+

1

2

=

1

2

+

1

2

=1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．