Question

6．已知正数数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n和2的等比中项等于a_n和2的等差中项，则a₁=2，S_n=2n²．

Answer 1

分析 由等差中项和等比中项可得$\frac{{a}_{n}+2}{2}$=$\sqrt{2{S}_{n}}$，平方可得S_n=$\frac{（{a}_{n}+2）^{2}}{8}$，把n=1代入可得a₁=2，还可得S_n-1=$\frac{（{a}_{n-1}+2）^{2}}{8}$，又a_n=S_nS-_n-1，数列各项都是正数，可得a_n-a_n-1=4，可得数列为等差数列，可得前n项和公式．

解答 解：由题意知$\frac{{a}_{n}+2}{2}$=$\sqrt{2{S}_{n}}$，平方可得S_n=$\frac{（{a}_{n}+2）^{2}}{8}$，①
①由a₁=S₁得$\frac{{a}_{1}+2}{2}$=$\sqrt{2{a}_{1}}$，从而可解得a₁=2．
又由①式得S_n-1=$\frac{（{a}_{n-1}+2）^{2}}{8}$（n≥2）…②
①-②可得a_n=S_nS-_n-1=$\frac{（{a}_{n}+2）^{2}}{8}$-$\frac{（{a}_{n-1}+2）^{2}}{8}$（n≥2）
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0 
∵数列{a_n}的各项都是正数，
∴a_n-a_n-1-4=0，即a_n-a_n-1=4．
故数列{a_n}是以2为首项4为公差的等差数列，
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×4$=2n²．
当n=1时，S₁=a₁=2．
故S_n=2n²．
故答案是：2；2n²．

点评 本题考查等差数列和等比数列的性质，属中档题．