Question

17．对于n维向量A=（a₁，a₂，…，a_n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a_i=0或a_i=1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）=$\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$．
（Ⅰ）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．
（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A₁，A₂，A₃，…，若A₁=（1，1，1，1，1）且满足：d（A_i，A_i+1）=2，i∈N^*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．
（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A₁，A₂，A₃，…，若${A_1}=（\underbrace{1，1，…，1}_{12个}）$且满足：d（A_i，A_i+1）=m，m∈N^*，i=1，2，3，…，若存在正整数j使得${A_j}=（\underbrace{0，0，…，0}_{12个}）$，A_j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），由定义$d（A，B）=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$，求d（A，B）的值．
（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；
（Ⅲ）根据存在正整数j使得${A_j}=（\underbrace{0，0，…，0}_{12个}）$，A_j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．

解答 解：（Ⅰ）由于A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），由定义$d（A，B）=\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$，
可得d（A，B）=4．…（4分）
（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A₁，A₂，A₃，…A_n，
使得A₁=（1，1，1，1，1），A_m=（0，0，0，0，0）．
因为向量A₁=（1，1，1，1，1）的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，
不妨设A₁的第i（i=1，2，3，4，5）个分量1变化了2n_i-1次之后变成0，
所以将A₁中所有分量1变为0共需要（2n₁-1）+（2n₂-1）+（2n₃-1）+（2n₄-1）+（2n₅-1）=2（n₁+n₂+n₃+n₄+n₅-2）-1次，此数为奇数．
又因为$d（{A_i}，{A_{i+1}}）=2，i∈{N^*}$，说明A_i中的分量有2个数值发生改变，
进而变化到A_i+1，所以共需要改变数值2（m-1）次，此数为偶数，所以矛盾．
所以该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．…（9分）
（Ⅲ）存在正整数j使得${A_j}=（\underbrace{0，0，…，0}_{12个}）$，A_j为12维T向量序列中的项，此时m=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．…（13分）

点评 本题考查集合知识，考查反证法，考查新定义，难度大．