Question

在公差不为0的等差数列{a_n}中，已知a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=2n•an，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得（1+4d）²=（1+d）（1+13d），由此能求出a_n=2n-1．
（2）由bn=(2n-1)•2n，利用错位相减法能求出Tn=6+2n+1(2n-3)．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
由题知，

a

2 5

=a2•a14，…（1分）
∵a₁=1，∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），…（2分）
即d²-2d=0，又∵d≠0，∴d=2…（4分）
∴a_n=1+2（n-1），∴a_n=2n-1．…（5分）
（2）∵bn=(2n-1)•2n，…（6分）
∴Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1②
①-②得-Tn=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)×2n+1…（9分）
=2+

8-2n+2

1-2

-(2n-1)×2n+1
=2-8+2ⁿ⁺²-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=-6+2ⁿ⁺¹（2-2n+1）=-6+2ⁿ⁺¹（3-2n）…（11分）
∴Tn=6+2n+1(2n-3)．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．