Question

设等差数列 {a_n}的前n项和为 S_n，a₅+a₆=24，S₁₁=143数列 {b_n}的前n项和为T_n满足2an-1=λTn-(a1-1)(n∈N*)
（Ⅰ）求数列 {a_n}的通项公式及数列 {

1

anan+1

}的前n项和；
（Ⅱ）是否存在非零实数 λ，使得数列 {b_n}为等比数列？并说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S₁₁=11a₆=143，得a₆=13，又a₅+a₆=24，解得a₅=11，d=2，从而得到a_n=2n+1，进而

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，由此能求出数列{

1

anan+1

}的前n项和．
（Ⅱ）由已知得4ⁿ=λT_n-2，T_n=

1

λ

•4n+

2

λ

，由此推导出不存在非零实数λ，使得数列{b_n}为等比数列．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由S₁₁=11a₆=143，得a₆=13，
又a₅+a₆=24，解得a₅=11，d=2，
∴{a_n}的通项公式是a_n=a₅+（n-5）×2=2n+1，n∈N^*，
∴

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴数列{

1

anan+1

}的前n项和：
S_n=

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)
=

n

6n+9

．
（Ⅱ）∵a₁=3，2an-1=λT_n-（a₁-1），
∴4ⁿ=λT_n-2，
T_n=

1

λ

•4n+

2

λ

，
当n=1时，b1=

6

λ

，
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=

1

λ

•4n+

2

λ

-

1

λ

•4n-1-

2

λ

=

3

λ

•4n-1，
∴b_n+1=4b_n，（n≥2），
若{b_n}是等比数列，则b₂=4b₁，
而b1=

6

λ

，b₂=

12

λ

，∴b₂=2b₁与b₂=4b₁矛盾，
故不存在非零实数λ，使得数列{b_n}为等比数列．

点评：本题考查等差数列的性质、等比数列的定义以及前n项和与通项公式的关系，考查推理论证能力、运算求解能力及方程思想．