Question

函数f（x）=sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0），y=f（x）的周期为π，其图象最高点（

5π

8

，1）．
（1）求该函数的解析式；
（2）用“五点法”画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象；
（3）方程f（x）=a在[

3π

8

，

7π

8

]上有两个相异的根x₁、x₂，求x₁+x₂的值．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的图象即可求y=f（x）的解析式；
（2）根据“五点法”即可画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（3）根据三角函数图象之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵y=f（x）的周期为π，
∴T=

2π

ω

=π，
则ω=2，
又函数图象最高点（

5π

8

，1）．
∴f（

5π

8

）=1，
即sin（

5π

8

+φ）=1．
∵-π＜φ＜0，
∴

5π

8

+φ∈（

π

4

，

5π

4

），
即

5π

8

+φ=

π

2

，
解得φ=-

3π

4

，
则y=f（x）的解析式为f（x）=sin（2x-

3π

4

）．
（2）由f（x）=sin（2x-

3π

4

）得

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
y	- 2 2	-1	0	1	0	- 2 2

故函数的图象如右图：
（3）若f（x）=a在[

3π

8

，

7π

8

]上有两个相异的根x₁、x₂，
则两个相异的根x₁、x₂，关于x=

5π

8

对称，
即x₁+x₂=

5π

4

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的图象，单调性，最值性质的求解和应用．