Question

已知a＞0，且a≠1，设p：函数y=a^x在R上递增；q：函数f（x）=x²-2ax-1在(

1

3

，+∞)上单调递增，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：由条件p或q为真命题，p且q为假命题，确定p与q一真一假，然后根据命题的真假关系确定取值范围．

解答： 解：∵函数y=a^x在R上递增，∴a＞1．
即p为真时，a＞1．
函数f（x）=x²-2ax-1在(

1

3

，+∞)上单调递增，
则对称轴x=a≤

1

3

，
∴q为真时：0＜a≤

1

3

，
∵“p且q”假，“p或q”真．
∴p与q一真一假．
∴p真q假或p假q真，即

a＞1 a＞ 1 3

或

0＜a＜1 0＜a≤ 1 3

，
∴a＞1或0＜a≤

1

3

，
故实数a的取值范围是a＞1或0＜a≤

1

3

．

点评：本题主要复合命题的命题与简单命题的真假关系的应用，将命题进行化简是解决本题的关键．