Question

7．设{a_n}是一个公差不为零的等差数列，其前n项和为S_n，已知S₉=90，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），由a₁，a₂，a₄成等比数列，可得$a_2^2={a_1}{a_4}$，即${（{a_1}+d）^2}={a_1}（{a_1}+3d）$，由${S_9}=9{a_1}+\frac{9×8}{2}d=90$，联立解出即可得出．
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），则a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d，
由a₁，a₂，a₄成等比数列，可得$a_2^2={a_1}{a_4}$，
即${（{a_1}+d）^2}={a_1}（{a_1}+3d）$，
整理，可得a₁=d．
由${S_9}=9{a_1}+\frac{9×8}{2}d=90$，可得a₁=d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
（2）由于a_n=2n，
所以${b_n}=\frac{1}{4n（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
从而${T_n}=\frac{1}{4}[（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]=\frac{1}{4}×\frac{n}{n+1}=\frac{n}{4n+4}$，
即数列{b_n}的前n项和为${T_n}=\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．