Question

12．已知函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
（3）求x取何时，函数取得最大值为多少．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的周期公式即可求函数的最小正周期；
（2）结合三角函数的单调性即可求函数的单调增区间；
（3）利用三角函数的有界性即可求出函数的最大值．

解答 解：将y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R，整理得$y=sin2x+cos2x+2=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2$．
（1）函数的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）由函数为增函数，则由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$，k∈Z．
那么函数的单调递增区间是$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]$，k∈Z．
（3）$令2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}，解得x=kπ+\frac{π}{8}，k∈Z$，
此时函数取到最大值为$\sqrt{2}+2$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的倍角公式进行化简是解决本题的关键．