Question

解不等式
（1）x²-x+a＞0；
（2）ax²-（2a+1）x+2＜0；
（3）ax²-2x+a＜0．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当△=1-4a，对△于a分类讨论即可得出；
（2）对a与△分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出；
（3）对a与△分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）x²-x+a＞0，当△=1-4a＜0，即a＞

1

4

时，不等式的解集为R；
当△=0，即a=

1

4

时，不等式的解集为{x|x≠

1

4

}；
当△=1-4a＞0，即a＜

1

4

时，不等式的解集为{x|x＞

1+ 1-4a

2

或x＜

1- 1-4a

2

}．
（2）ax²-（2a+1）x+2＜0，当a=0时，不等式化为-x+2＜0，解得x＞2，其解集为{x|x＞2}；
当a≠0时，△=（2a+1）²-8a=（2a-1）²≥0，（ax-1）（x-2）＜0．
当a=

1

2

时，△=0，不等式化为（x-2）²＜0，其解集为∅．
当a＞

1

2

时，不等式的解集为{x|

1

a

＜x＜2}．
当0＜a＜

1

2

时，不等式的解集为{x|2＜x＜

1

a

}．
当a＜0时，不等式化为(x-

1

a

)(x-2)＞0，不等式的解集为：{x|x＞2或x＜

1

a

}．
（3）ax²-2x+a＜0．
当a=0时，不等式化为-2x＜0，不等式的解集为{x|x＞0}．
当a≠0时，由△=4-4a²=0，解得a=±1．
当a＞1时，△＜0，不等式的解集为∅．
当a=1时，△=0，不等式化为（x-1）²＜0，不等式的解集为∅．
当0＜a＜1时，△＞0，不等式的解集为{x|

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

}．
当-1＜a＜0时，△＜0，不等式的解集为R．
当a=-1时，△=0，不等式化为（x+1）²＞0，其解集为{x|x≠-1}．
当a＜-1时，△＜0，不等式的解集为R．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，恰当的分类讨论是解题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于难题．