Question

已知函数f（x）=mlnx+（m-1）x（m∈R）．
（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）将m=2代入函数的表达式，求出函数的导数从而逐项斜率为k=3，进而求出切线方程；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，先求出函数的导数，通过讨论m的范围，从而得到函数的单调性．

解答： 解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=2lnx+x，
f′(x)=

2

x

+1，f′(1)=

2

1

+1=3，
f（1）=2ln1+1=1，
所以，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，
f′(x)=

2m

x

+m-1=

2m+(m-1)x

x

；
（1）当m≥1时，f'（x）＞0，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；   
（2）当m＜1时，令f'（x）=0，解得x=

2m

1-m

．
当m≤0时，f'（x）＜0，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减；     
当0＜m＜1时，当x变化时，f'（x），f（x）变化状态如下表：

x	（0， 2m 1-m ）	2m 1-m	（ 2m 1-m ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑		↓

∴f（x）在(0，

2m

1-m

)单调递增，在(

2m

1-m

，+∞)单调递减．

点评：本题考查了导数的应用，考查了函数的单调性，考查了分类讨论思想，是一道中档题．