Question

已知关于实数x的不等式|x-

(tanθ+1)2

2

|≤

(tanθ-1)2

2

，x²-3﹙tanθ+1﹚x+2﹙3tanθ+1﹚≤0的解集分别为M、N，且M∩N=∅，这样的θ存在吗，若存在，求出θ的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：计算题,三角函数的求值,集合

分析：由题意化简不等式，从而求出tanθ的取值范围，从而求θ的取值范围．

解答： 解：|x-

(tanθ+1)2

2

|≤

(tanθ-1)2

2

可化为
2tanθ≤x≤tan²θ+1，
即M={x|2tanθ≤x≤tan²θ+1}，
x²-3﹙tanθ+1﹚x+2﹙3tanθ+1﹚≤0可化为
[x-（3tanθ+1）]（x-2）≤0，
①若3tanθ+1=2，即tanθ=

1

3

时，
集合N={2}，M={x|

2

3

≤x≤

10

9

}，
M∩N=∅成立；
②若3tanθ+1＜2，即tanθ＜

1

3

时，
集合N=[3tanθ+1，2]，集合M=[2tanθ，tan²θ+1]，
则tan²θ+1＜3tanθ+1或2tanθ＞2，
解得，0＜tanθ＜

1

3

；
③若3tanθ+1＞2，即tanθ＞

1

3

时，
集合N=[2，3tanθ+1]，集合M=[2tanθ，tan²θ+1]，
则tan²θ+1＜2或2tanθ＞3tanθ+1，
即

1

3

＜tanθ＜1，
综上所述，0＜tanθ＜1，
则θ的取值范围为{θ|kπ＜θ＜kπ+

π

4

，k∈Z}．

点评：本题考查了三角函数的化简与求值及集合的运算，属于基础题．