Question

如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ACB=β．
（Ⅰ）证明：sinα=cos2β；
（Ⅱ）若AC=

3

DC，求β的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数的化简求值

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）设∠ABC=γ，由等腰三角形及外角性质得α+2β=

π

2

，两边取正弦可得结论；
（Ⅱ）由正弦定理得

DC

sinα

=

AC

sin(α+β)

及AC=

3

DC可得cosβ=

3

sinα，由（Ⅰ）得sinα=cos2β，联立可得cosβ，于是得β，α；

解答： （Ⅰ）证明：设∠ABC=γ，由三角形ABC为直角三角形可得β+γ=

π

2

，
又∵AB=AD，∴∠ABC=∠ADB，
∴γ=α+β，代入β+γ=

π

2

，得α+2β=

π

2

，
∴α=

π

2

-2β，
∴sinα=cos2β．
（Ⅱ）解：在△ADC中，由正弦定理得

DC

sinα

=

AC

sin(α+β)

，
代入AC=

3

DC，得sin（α+β）=

3

sinα，
又α+2β=

π

2

，∴可得α+β=

π

2

-β，
∴sin（α+β）=sin（

π

2

-β）=cosβ=

3

sinα．
由（Ⅰ）得sinα=cos2β，
∴cosβ=

3

cos2β=

3

(2cos2β-1)，解得cosβ=

3

2

或-

3

3

（舍去），
∴β=

π

6

，α=β=

π

6

．

点评：该题考查三角函数式的化简求值、正弦定理及其应用，考查学生的运算求解能力．