Question

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（2，-2），向量

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

3

2

），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=2，△ABC为钝角三角形，且2sin²C+

3

sin2C-1-

3

=0，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，以及两向量垂直时数量积为0列出关系式，求出cosA的值，即可确定出A的大小；
（Ⅱ）已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式变形，求出C的度数，由A的度数求出B的度数，求出三角形面积即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（2，-2），向量

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

3

2

），且

m

⊥

n

，
∴2cosBcosC-2sinBsinC+

3

=0，即cos（B+C）=-cosA=-

3

2

，
∴cosA=

3

2

，
则A=

π

6

；
（Ⅱ）2sin²C+

3

sin2C-1-

3

=

3

sin2C-cos2C-

3

=0，
变形得：sin（2C-

π

6

）=

3

2

，
∴2C-

π

6

=

π

3

或2C-

π

6

=

2π

3

，
即C=

π

4

或C=

5π

12

，
当C=

π

4

时，A=

π

6

，B=

7π

12

，符合题意，
如图所示，BC=a=2，
在Rt△BCD中，∠C=

π

4

，
∴BD=CD=

2

，
在Rt△ABD中，BD=

2

，∠A=

π

6

，
∴AB=2

2

，AD=

6

，
此时△ABC面积为

1

2

AC•BD=

1

2

×（

2

+

6

）×

2

=1+

3

；
当C=

5π

12

时，A=

π

6

，B=

5π

12

，不合题意，舍去，
则△ABC的面积为1+

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．