Question

4．已知f（x）为R上的可导函数，且对任意x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下说法正确的是（　　）

• A． e²⁰¹⁷f（-2017）＜f（0），f（2017）＞e²⁰¹⁷f（0）
• B． e²⁰¹⁷f（-2017）＜f（0），f（2017）＜e²⁰¹⁷f（0）
• C． e²⁰¹⁷f（-2017）＞f（0），f（2017）＜e²⁰¹⁷f（0）
• D． e²⁰¹⁷f（-2017）＞f（0），f（2017）＞e²⁰¹⁷f（0）

Answer 1

分析 由题意，首先构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，对其求导并判断单调性，利用此性质判断-2017，0，的函数值大小．

解答 解：设F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则F'（x）=[$\frac{f（x）}{e^x}$]'=$\frac{f'（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}=\frac{f'（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，因为f（x）＞f'（x），
所以F'（x）＜0，所以F（x）为减函数，
因为-2017＜0，2017＞0，
所以F（-2017）＞F（0），F（2017）＜F（0），
即$\frac{f（-2017）}{{e}^{-2017}}＞\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，所以e²⁰¹⁷f（-2017）＞f（0）；
$\frac{f（2017）}{{e}^{2017}}＜\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，即f（2017）＜e²⁰¹⁷f（0）；
故选C．

点评 本题考查了利用函数的单调性判断函数值的大小；关键是正确构造F（x），利用其单调性得到所求．