Question

14．关于x的不等式|x-1|-|x-3|＞a²-3a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是（　　）

• A． 1＜a＜2
• B． $\frac{{3-\sqrt{17}}}{2}＜a＜\frac{{3+\sqrt{17}}}{2}$
• C． a＜1或a＞2
• D． a≤1或a≥2

Answer 1

分析 由题意可得|x-1|-|x-3|＞a²-3a的解集非空，根据绝对值的意义求得|x-1|-|x-3|的最大值为2，可得2＞a²-3a，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：关于x的不等式|x-1|-|x-3|＞a²-3a的解集为非空数集，
则a²-3a＜（|x-1|-|x-3|）_max即可，
而|x-1|-|x-3|的最大值是2，
∴只需a²-3a-2＜0，解得：$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$＜a＜$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，属于中档题．