Question

1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=$\sqrt{3}$x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．

Answer 1

分析 （I）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程，利用三角函数基本关系式可得：参数方程．
（II）设切点D（1+cosα，sinα），根据CD∥l，可得$\frac{sinα}{1+cosα-1}$=$\sqrt{3}$，解出即可得出．

解答 解：（I）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x²+y²-2x=0，配方为：（x-1）²+y²=1，圆心C（1，0）．
可得参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α∈[0，π]，α为参数）．
（II）设切点D（1+cosα，sinα），∵CD∥l，则$\frac{sinα}{1+cosα-1}$=$\sqrt{3}$，tanα=$\sqrt{3}$，
解得α=$\frac{π}{3}$，
∴D$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程、圆的切线的性质、斜率计算公式、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．