Question

6．已知f（x）=$\frac{{x}^{2}+（1-m）x+1}{{e}^{x}}$．
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数x₁，x₂∈[0，1]，使得不等式2f（x₁）＜f（x₂）成立，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（Ⅱ）假设存在实数x₁，x₂∈[0，1]，使得2f（x₁）＜f（x₂），则2f（x₁）_min＜f（x₂）_max，研究f（x）在[0，1]上单调性，用m表示出f（x）在[0，1]上的最值，解相关的关于m的不等式求出范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（m+1）x-m}{{e}^{x}}$=$\frac{-（x-m）（x-1）}{{e}^{x}}$，
当m=1，f′（x）≤0恒成立，故函数f（x）在R上单调递减，
当m＞1，若f′（x）＞0，则1＜x＜m，函数单调递增，
若f′（x）＜0，则x＜1或x＞m，函数单调递减，
当m＜1，若f′（x）＞0，则m＜x＜1，函数单调递增，
若f′（x）＜0，则x＜m或x＞1，函数单调递减，函数单调递减，
综上所述，当m=1时，函数f（x）在R上单调递减，
当m＞1时，f（x）在（1，m）上单调递增，在（-∞，1）或（m，+∞）单调递减，
当m＜1时，f（x）在（m，1）上单调递增，在（-∞，m）或（1，+∞）单调递减，
（Ⅱ）假设存在实数x₁，x₂∈[0，1]，使得2f（x₁）＜f（x₂），则2f（x₁）_min＜f（x₂）_max，
①当m≥1时，f（x）在[0，1]上单调递减
∴2f（1）＜f（0），即2×$\frac{3-m}{e}$＜1，得m＞3-$\frac{e}{2}$＞1．
②当m≤0时，f（x）在[0，1]上单调递增．
∴2f（0）＜f（1），即2＜$\frac{3-m}{e}$，得m＜3-2e＜0，
③当0＜m＜1时，
在x∈[0，m），f（x）在[0，m]上单调递减
在x∈（m，1]，f（x）在[m，1]上单调递增．
∴2f（t）＜max{ f（0），f（1）}，即2×$\frac{m+1}{{e}^{m}}$＜max{ 1，$\frac{3-m}{e}$}（*）
由（Ⅰ）知，f（t）=2×$\frac{m+1}{{e}^{m}}$在[0，1]上单调递减，故$\frac{4}{e}$≤2×$\frac{m+1}{{e}^{m}}$≤2，而$\frac{2}{e}$≤$\frac{3-m}{e}$≤$\frac{3}{e}$，所以不等式（*）无解．
综上所述，存在m∈（-∞，3-2e）∪（3-$\frac{e}{2}$，+∞），使命题成立

点评 本题考查函数单调性与导数关系，求函数单调区间，求最值，最值的应用，分类讨论思想．关键是转化到2f（x₁）_min＜f（x₂）_max，难点在于分类讨论求相应的最值．