Question

11．在△ABC中，|AB|=4，|AC|=3，若D为线段BC的中点，且满足$\overrightarrow{DP}$•$\overrightarrow{BC}$=0，则$\overrightarrow{AP}•（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}）$的值为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用向量表示出$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AP}$，计算$\overrightarrow{DP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$），再求$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）的结果即可．

解答 解：如图所示，
BC的中点为D，则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$，
可得$\overrightarrow{DP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{DP}$•$\overrightarrow{CB}$=0；
∴$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）+$\overrightarrow{DP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{AB}}^{2}$-${\overrightarrow{AC}}^{2}$）+$\overrightarrow{DP}$•$\overrightarrow{CB}$
=$\frac{1}{2}$×（4²-3²）+0
=$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．