Question

12．已知数列{a_n}中，a₁=1，其前n项和为S_n，且满足a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2）
（1）求S_n；
（2）证明：当n≥2时，S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，可得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，由此求得S_n；
（2）由$\frac{1}{n}{S}_{n}=\frac{1}{n（2n-1）}＜\frac{1}{n（2n-2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，求和后由放缩法可得S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$．

解答 （1）解：由a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），得${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，得$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{{S}_{1}}+（n-1）×2=2n-1$，
则${S}_{n}=\frac{1}{2n-1}$；
（2）证明：当n≥2时，$\frac{1}{n}{S}_{n}=\frac{1}{n（2n-1）}＜\frac{1}{n（2n-2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，
∴S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$1+\frac{1}{2}（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$．

点评 本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查放缩法证明数列不等式，是中档题．