Question

13．设函数f（x）=x（e^x-1）-ax²．
（Ⅰ）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：$\frac{ln2}{2}$×$\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}$×…×$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=x（e^x-1）+ax²=x（e^x-1+ax），令g（x）=（e^x-1+ax），x∈[0，+∞），由此利用导数性质能求出a的取值范围．
（II）判断lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，进而可得证$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{n-1}{n}$（n≥2，n∈N^*），即可证得结论．

解答 （Ⅰ）解：f（x）=x（e^x-1）+ax²=x（e^x-1+ax），
令g（x）=（e^x-1+ax），x∈[0，+∞），
g'（x）=e^x+a，g（0）=0．
当a≥-1时，g'（x）=e^x+a＞0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，
而g（0）=0，从而当x≥0时，f（x）≥0恒成立．
当a＜-1时，令g'（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a）．
当x∈（0，ln（-a））时，g'（x）＜0，
g（x）在（0，ln（-a））上是减函数，
而g（0）=0，从而当x∈（0，ln（-a））时，g（x）＜0，即f（x）＜0．
综上，a的取值范围是[-1，+∞）；
（Ⅱ）证明：要证：$\frac{ln2}{2}$×$\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}$×…×$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n≥2，n∈N^*）成立；
只须证$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{n-1}{n}$（n≥2，n∈N^*，）
即证lnn＜n-1（n≥2，n∈N^*，）
下面证明此式．
证明：令a=1此时f（x）=lnx-x-3，所以f（1）=-4，
由（I）知f（x）=lnx-x-3在（1，+∞）上单调递减，
∴当x∈[1，+∞）时f（x）＜f（1），即lnx-x+1＜0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，则有0＜lnn＜n-1，
故结论成立．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查构造函数求解证明不等式问题，属于中档题．