Question

11．在△ABC中，AB=AC，E为AC边上的点，且AC=3AE，BE=2，则△ABC的面积的最大值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 根据余弦定理和同角的三角函数的关系以及三角形的面积公式和二次函数的性质计算即可．

解答 解：如图：设AB=AC=3x，
∵AC=3AE，
∴AE=x，
在三角形ABE中，根据余弦定理可得，
cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{E}^{2}-B{E}^{2}}{2AB•AE}$=$\frac{10{x}^{2}-4}{6{x}^{2}}$=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3{x}^{2}}$
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2}{3{x}^{2}}$$\sqrt{-4{x}^{4}+5{x}^{2}-1}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA=$\frac{1}{2}$×9×$\frac{2}{3}$$\sqrt{-4{x}^{4}+5{x}^{2}-1}$=3$\sqrt{-4（{x}^{2}-\frac{5}{8}）^{2}+\frac{9}{16}}$≤$\frac{9}{4}$
故答案为：$\frac{9}{4}$

点评 本题考查了余弦定理和同角的三角函数的关系以及三角形的面积公式和二次函数的性质，属于中档题．